Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在過點(diǎn)E（4，0）的真線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得∠AMB為直角？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出△ABC的面積，再求出直線AC的解析式，根據(jù)拋物線的解析式求出對稱軸，設(shè)對稱軸與直線AC相交于H，根據(jù)S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，列式求出DH的長，再分點(diǎn)D在AC的上方與下方兩種情況討論求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，過點(diǎn)E的直線與⊙F的切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，連接FM，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，先求出EF、FN再根據(jù)勾股定理列式求出ME，然后根據(jù)△FMN和△FEM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出MN、FN，再求出ON，再分點(diǎn)M在x軸上方與下方兩種情況寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）令y=0，則-x²-x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴點(diǎn)A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，則y=3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=×6×3=9，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，
解得，
所以，直線AC的解析式為y=x+3，
拋物線的對稱軸為直線x=-=-1，
所以，x=-1時(shí)，y=（-1）×+3=，
設(shè)對稱軸與直線AC相交于H，
則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-1，），
∵△ACD的面積等于△ACB的面積，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=DH×4=6，
解得DH=，
點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，+=，
此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，），
點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，-=-，
此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-），
綜上所述，△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）或（-1，-）；

（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以AB為直徑作⊙F，
則過點(diǎn)E的直線與⊙F的切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，
如圖，連接FM，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴點(diǎn)F（-1，0），
FM=×6=3，EF=4+1=5，
根據(jù)勾股定理，ME===4，
易得△FMN∽△FEM，
∴==，
即==，
解得MN=，F(xiàn)N=，
∴ON=FN-OF=-1=，
∴點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，），
點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，-）．
點(diǎn)評：本題考查了關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識(shí)的綜合運(yùn)用．難點(diǎn)在于第（3）問中對于∠AMB為直角的理解，這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決．本題難度較大，需要同學(xué)們對所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用．