Question

已知：如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，CE、AF與對(duì)角線BD分別相交于點(diǎn)G、H．
（1）求證：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求證：四邊形EGFH是菱形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴△DHF∽△BHA，
∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴．
∴DH=．
同理：BG=．
∴DH=HG=GB=．

（2）連接EF，交BD于點(diǎn)O．
∵AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
∵點(diǎn)E、O分別是AB、BD的中點(diǎn)，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．
∴?HEGF是菱形．
分析：（1）根據(jù)AB∥CD，利用平行線分線段成比例定理即可求證．則DH=BD，BG=BD，即可求證；
（2）連接EF，交BD于點(diǎn)O，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形EGFH是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及菱形的判定，正確理解定理是解決本題的關(guān)鍵．