Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．

（1）求證：∠ACO=∠BCD；

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．

（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．

【解答】（1）證明：連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∠BCD與∠ACE互余；又∠ACE與∠CAE互余

∴∠BCD=∠BAC．（3分）

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，

CE=CD=×24=12cm，（6分）

在Rt△CEO中，由勾股定理可得

OC²=OE²+CE²，即R²=（R﹣8）²+12²（8分）

解得R=13，∴2R=2×13=26cm．

答：⊙O的直徑為26cm．（10分）

【點(diǎn)評】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力．