Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-x²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）．直線(xiàn)x=2與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線(xiàn)x=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段CE的中點(diǎn)G作DF⊥CE交拋物線(xiàn)于D、F兩點(diǎn)．
（1）求這條拋物線(xiàn)的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)上時(shí)，求DF的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)四邊形CDEF是正方形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，求出b的值即可得到拋物線(xiàn)的解析式；
（2）由（1）可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镚是EC中點(diǎn)，由此可求出G的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)的解析式可求出F和D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出DF的長(zhǎng)；
（3）四邊形CDEF是正方形時(shí)可設(shè)設(shè)E（2，2m），則F（2-m，m），把F點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求出m的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴這條拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+4x．           

（2）由（1）可知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．      
∵G是EC的中點(diǎn)，
∴當(dāng)y=2時(shí)，-x²+4x=2．
∴x₁=2-

2

，x₂=2+

2

，．                  
∴DF=2+

2

-（2-

2

）=2

2

．                   

（3）設(shè)E（2，2m），則F（2-m，m）．                
∵點(diǎn)F在拋物線(xiàn)上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=

-1± 17

2

，2m=-1±

17

．             
∴E₁（2，-1+

17

），E₂=（2，-1-

17

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、解一元二次方程以及正方形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．