Question

（2006•蘭州）如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF為梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結論：①∠BCD=60°；②四邊形EHCF為菱形；③S_△BEH=S_△CEH；④以AB為直徑的圓與CD相切于點F，其中正確結論的個數為（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四邊形ABHD是矩形，故AD=BH，從而可求CH，利用三角函數可求∠DCH，即∠DCB的值；再利用梯形中位線定理，及F時CD中點，可證四邊形EHCF是菱形；△BEH與△EHC時等高的兩個三角形，求面積比，也就是求底邊的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半與EF比較，相等則切于F，否則不成立．
解答：解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，
∴∠DCH=60°，即∠BCD=60°，
在四邊形EHCF中，又CH=EF=2，CH∥EF，CF=CD=2，
∴四邊形EHCF是菱形，
∵S_△BEH=BH•EB=×1×EB=EB，
S_△CEH=CH•EB=×2×EB=EB，
∴S_△BEH=S_△CEH．
以AB的直徑的圓的半徑為，而EF=2，R≠EF．
所以AB為直徑的圓與CD不相切于點F．
則①②③正確．故選B．
點評：此題主要考查梯形的性質、勾股定理、菱形的判定、三角形面積及圓的切線的判定．