Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；
（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，且

AE

BC

=

6

2

，求∠B的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形；
（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，則AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=2OA=

2

AE，根據(jù)

AE

BC

=

6

2

，可得：tanB=

AC

BC

=

3

，故∠B=60°．

解答：解：（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．

（2）當(dāng)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECA+∠ACF=

1

2

∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，AO⊥EF，
∵BC∥EF，
∴AC⊥BC，AC=

2

AE，
∵

AE

BC

=

6

2

，
∴BC=

6

3

AE，
∴tanB=

AC

BC

=

2 AE

6 3 AE

=

3

，
∴∠B=60°．

點(diǎn)評：本題主要考查了“等角對等邊”，矩形和正方形的特殊性質(zhì)和矩形的判定等在解題中的靈活運(yùn)用，要求熟練掌握其性質(zhì)．