(2012•沈陽)已知,如圖①,∠MON=60°,點(diǎn)A,B為射線OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A,B不與點(diǎn)O重合),且AB=4
3
,在∠MON的內(nèi)部,△AOB的外部有一點(diǎn)P,且AP=BP,∠APB=120°.
(1)求AP的長(zhǎng);
(2)求證:點(diǎn)P在∠MON的平分線上.
(3)如圖②,點(diǎn)C,D,E,F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO,OB,BP,PA的中點(diǎn),連接CD,DE,EF,F(xiàn)C,OP.
①當(dāng)AB⊥OP時(shí),請(qǐng)直接寫出四邊形CDEF的周長(zhǎng)的值;
②若四邊形CDEF的周長(zhǎng)用t表示,請(qǐng)直接寫出t的取值范圍.
分析:(1)過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q.根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知AQ=BQ=
1
2
AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長(zhǎng)度;
(2)作輔助線PS、PT(過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S,PT⊥ON于點(diǎn)T)構(gòu)建全等三角形△APS≌△BPT;然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知PS=PT;最后由角平分線的性質(zhì)推知點(diǎn)P在∠MON的平分線上;
(3)利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長(zhǎng)的值是OP+AB.①當(dāng)AB⊥OP時(shí),根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長(zhǎng)度;②當(dāng)AB⊥OP時(shí),OP取最大值,即四邊形CDEF的周長(zhǎng)取最大值;當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí),四邊形CDEF的周長(zhǎng)取最小值.
解答:(1)解:過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q.
∵PA=PB,∠APB=120°,AB=4
3

∴AQ=BQ=2
3
,∠APQ=60°(等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)),
在Rt△APQ中,sin∠APQ=
AQ
AP

∴AP=
AQ
sin∠APQ
=
2
3
sin60°
=
2
3
3
2
=4;

(2)證明:過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S,PT⊥ON于點(diǎn)T.
∴∠OSP=∠OTP=90°(垂直的定義); 
在四邊形OSPT中,∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°,
∴∠APB=∠SPT=120°,∴∠APS=∠BPT;
又∵∠ASP=∠BTP=90°,AP=BP,
∴△APS≌△BPT,
∴PS=PT(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上;

(3)①∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,OP⊥AB,
∴AQ=BQ=
1
2
AB=2
3
,
OQ=
AQ
tan30°
=6,
同理:PQ=
AQ
tan60°
=2,
∴OP=8,
∵點(diǎn)C,D,E,F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO,OB,BP,PA的中點(diǎn),
∴CD=EF=
1
2
AB,CF=DE=
1
2
OP,
∴四邊形CDEF的周長(zhǎng)為:8+4
3
  
②CD和EF是△ABO和△ABP的中位線,
則CD=EF=
1
2
AB=2
3
,
CF和DE分別是△AOP和△BOP的中位線,則CF=DE=
1
2
OP,
當(dāng)AB⊥OP時(shí),OP為四點(diǎn)邊形AOBP外接圓的直徑時(shí),OP最大,其值是8,OP一定大于當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)的長(zhǎng)度是4.
則4+4
3
<t≤8+4
3
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、解直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì).解答該題時(shí),利用了角平分線逆定理--到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線角平分線上.
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