Question

13．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BC于D，E兩點(diǎn)，過B點(diǎn)的切線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．下列結(jié)論：
①OE∥AC；
②兩段劣弧$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$；
③FD與⊙O相切；
④S_△BDE：S_△BAC=1：4．
其中一定正確的有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由等腰三角形性質(zhì)得到∠OEB=∠ABC=∠ACB，從而可得OE∥AC；
②連接OD，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得∠BOE=∠EOD，從而得到$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$；
③由SAS證得△OBF≌△ODF，即可得到∠OBF=∠ODF．根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBF=90°，則有∠ODF=90°，即可得到DF與⊙O相切；
④由OE∥AC，得出△BOE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BO}{BA}$）²=$\frac{1}{4}$，△BDE的面積≠△BOE的面積，得出④不一定正確，即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵AB=AC，OB=OE，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠ACB，
∴OE∥AC，
故①正確；
②連接OD，如圖所示：
∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠OAD，∠EOD=∠ADO．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOE=∠EOD，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
故②正確；
③在△OBF和△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{∠BOF=∠DOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF=∠ODF，
∵BF與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠OBF=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF與⊙O相切，
故③正確；
④∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BOE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BO}{BA}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，而△BDE的面積≠△BOE的面積，
故④不正確；正確的有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，覆蓋的知識(shí)面比較廣．