Question

如圖，AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，過點C作CD∥AB，交⊙O于點D，連接BC、BD．

（1）判斷BC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB＝9，BC＝6，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

解：（1）BC＝BD．理由如下：

連接OB，并反向延長交CD于點E．

        ∵AB與⊙O相切，切點為B，

∴∠EBA＝90°．

∵CD∥AB，

∴∠DEB＝∠EBA＝90°，即BE⊥CD．

∴CE＝ED．

∴BC＝BD．

（2）方法一：

連接AO，與BC交于點F．

∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，

            ∴AB＝AC，∠CAO＝∠BAO．

            ∴AO⊥BC，BF＝BC＝3．

            ∴在Rt△AFB中，AF＝＝6．

∵∠FAB＝∠BAO，∠AFB＝∠ABO＝90°，

∴△FAB∽△BAO．

∴＝，即＝．

∴BO＝，即⊙O的半徑是．

方法二：

∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，

            ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

            ∵CD∥AB，

            ∴∠DCB＝∠ABC．

由（1）知△BDC是等腰三角形．

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BCD＝∠BDC．

∴△ABC∽△BDC．

∴＝，即＝．

∴CD＝4．

∴CE＝CD＝2．

在Rt△BEC中，BE＝

作OF⊥BC，垂足為F．則BF＝BC＝3．

∵∠OFB＝∠CEB＝90°，∠OBF＝∠CBE，

∴△OBF∽△CBE．

∴＝，即＝．

∴OB＝，即⊙O的半徑是．

方法三：

∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，

            ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

            ∵CD∥AB，

            ∴∠DCB＝∠ABC．

由（1）知△BDC是等腰三角形．

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BCD＝∠BDC．

∴△ABC∽△BDC．

∴＝，即＝．

∴CD＝4．

∴CE＝CD＝2．

在Rt△BEC中，BE＝

連接OC，在Rt△CEO中，EC²＋OE²＝OC²．

            設⊙O的半徑是R，則2²＋(4－R) ²＝R²．

            解這個方程，得R＝，即⊙O的半徑是．