Question

如圖，⊙O是△ABC的內切圓，與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F，∠DEF=45度．連接BO并延長交AC于點G，AB=4，AG=2．
（1）求∠A的度數；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）連接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，又∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°，
∴∠ODA=∠OFA=∠DOF=90°，
∴四邊形ADOF是矩形，
∴∠A=90°；

（2）設⊙O的半徑為r，
由（1）知四邊形ADOF是矩形，又OD=OF，
∴四邊形ADOF是正方形．
∴OD∥AC．
∴△BOD∽△BGA．
∴．
即，
解得r=．
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）由于已知了∠DEF的度數，那么可連接OD，OF，那么∠DOF=2∠DEF=90°，根據AD，AF是圓的切線，那么OD⊥AB，OF⊥AC，由此可得出∠A的度數．
（2）根據（1）的結論我們不難得出ADOF是個正方形，那么OD=AD=AF=OF就都等于圓的半徑長，那么可用半徑表示出BD的長，根據OD∥AC，我們可以得出關于BD，AB，OD，AG的比例關系式．已知了AG，AB的長就能求出半徑的長了．
點評：本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形等知識點綜合應用．根據圓周角定理和切線的性質得出ADOF是正方形是解題的關鍵．