Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．D是AC上一點(diǎn)，且AD=2CD，CE⊥BD于H交AB于E．F是AB的中點(diǎn)，BD、CF交于點(diǎn)G，連接EG．下列結(jié)論：①BG=CE；②四邊形AEGC為等腰梯形；③HG=2HD；④BE=3AE．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

分析：由點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°，在△ACE中∥∥，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF，∠CEA=∠CGB，又AC=BC，所以△AEC≌△BCG即得證①；由AE=CG，作FM∥AC，則AD=2CD，所以FG=GC，得AE=CG，AE=EF，又得EG∥AC，所以四邊形AEGC為等腰梯形（②得證）所以

EG

AC

=

1

2

=

EG

3CD

即

EG

CD

=

3

2

，得

EG

CD

=

HG

HD

=

3

2

③是錯(cuò)誤的；由

AE

BE

=

AE

AF+AE

=

AE

3AE

=

1

3

（④得證）．

解答：解：∵點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，AC=BC，∠ACB=90°
∴CF⊥AB，∠FCB=∠BAC=45°
在△ACE中，∠CEA=90°+∠ECF，在△BGC中∠CGB=90°+∠ECF
∴∠CEA=∠CGB
又∵AC=BC
∴△AEC≌△BCG
∴AE=CG，BG=CE（①得證）
由AE=CG，
作FM∥AC
∵AD=2CD，
∴FG=GC，
∴AE=CG，AE=EF，
∴EG∥AC
∴四邊形AEGC為等腰梯形（②得證）
∴

EG

AC

=

1

2

=

EG

3CD

即

EG

CD

=

3

2

∴

EG

CD

=

HG

HD

=

3

2

∴③是錯(cuò)誤的．
由

AE

BE

=

AE

AF+AE

=

AE

3AE

=

1

3

（④得證）
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形，綜合考查了平行線的與線段的巧妙結(jié)合，本題思路性很強(qiáng)．