Question

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱.
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：∠CFE=∠AFE；
（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似，若有，請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則：
解得
∴ 此拋物線的解析式為
（2）過點(diǎn)A作AM∥x軸，交FC于點(diǎn)M，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N.
∵拋物線的解析式可變形為
∴拋物線對(duì)稱軸是直線x =4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，－2）.則AN=4.
設(shè)直線AC的解析式為,
則有，解得.
∴ 直線AC的解析式為
當(dāng)x=4時(shí)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4），
∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，－8）
設(shè)直線FC的解析式為,
則有，解得.
∴ 直線AC的解析式為
∵AM與x軸平行，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.
當(dāng)y=6時(shí)，則有解得x=8.
∴AM=8,MN=AM—MN=4
∴AN=MN
∵FN⊥AM
∴∠ANF=∠MNF
又NF=NF
∴△ANF≌△MNF
∴∠CFE=∠AFE
（3）∵C的坐標(biāo)為（7，），F(xiàn)坐標(biāo)為（4，－8）
∴
∵又A的坐標(biāo)為（0，6），則，
又DF=6，
若△AFP∽△DEF
∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，
又由（2）可知∠DFC=∠AFE
∴∠PAF=∠DFC
若△AFP1∽△FCD
則,即,解得P1A=8.
∴O P1=8－6=2
∴P1的坐標(biāo)為（0，－2）
若△AFP2∽△FDC
則,即,解得P2A=.
∴O P2=－6=.
∴P2的坐標(biāo)為（0，－）
所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)不兩個(gè)，分別是P1（0，－2），P2（0，－）.

解析