Question

如圖，等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120^o,M，N分別是AB,BC邊上的中點.

（1）用尺規(guī)作圖的方法，在AC上找一點P，使得MP+NP最短.

（不用寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AC邊上的高為1，求MP+NP的最短長度.

 

Answer 1

（1）如圖所示，點P即為所求．…………………2分

（2）連接AM’，MP，BP……………………………3分

∵點M’和點M關(guān)于AC對稱

∴MP=M’P, ∠MPA=∠M’PA

又∵PA=PA

∴△MPA≌△M’PA………………………………4分

∴∠BAC=∠M’AC，AM=AM’…………………….5分

又∵AB=BC

∴∠BAC=∠C

∴∠M’AC=∠C…………………………………….6分

又∵M,N分別為AB，BC邊上的中點

∴AM=NC

即：AM’=NC…………………………………………7分

又∵∠APM’=∠CPN

∴△APM’≌△CPN…………………………………..8分

∴AP=PC

∴BP為AC邊上的高…………………………………9分

又∵在Rt△ABP中，∠BAP=30^o

∴BP=AB=MB…………………………………….10分

又∵∠ABP=60^o.

∴△BMP為等邊三角形…………………………………11分

∴MP=BP=1………………………………………………12分

同理：NP=1……………………………………………..13分

∴MP+NP的最短長度為2．…………………………14分