Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上一動點，點Q為邊AC上一動點，且∠PDQ=90°．

（1）求ED、EC的長；

（2）若BP=2，求CQ的長；

（3）記線段PQ與線段DE的交點為點F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8  ∴BC=10

點D為BC的中點   ∴CD=5

可證△ABC∽△DEC

∴， 即

∴，

（2）①當點P在AB邊上時，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，

在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，  ∴∠DEC=∠B

∵DE⊥BC，∠PDQ=90°  ∴∠PDQ=∠BDE=90°  ∴∠BDP=∠EDQ

∴△BPD∽△EQD  

∴，  即，

∴  

∴CQ=EC-EQ

②當點P在AB的延長線上時，同理可得：，

∴CQ=EC+EQ  

（3）∵線段PQ與線段DE的交點為點F，∴點P在邊AB上

∵△BPD∽△EQD    ∴

若設BP=x ，則，    可得    ∴∠QPD=∠C

又可證∠PDE=∠CDQ        ∴△PDF∽△CDQ

∵△PDF為等腰三角形       ∴△CDQ為等腰三角形

①當CQ=CD時，可得：   解得：

②當QC=QD時， 過點Q作QM⊥CB于M，

∴，

∴，   解得  

③當DC=DQ時，過點D作DN⊥CQ于N，

∴，

∴，   解得(不合題意，舍去)

∴綜上所述，或