Question

（1）求函數(shù)y=|x²-4|-3x在區(qū)間-2≤x≤5中的最大值和最小值．
（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x²+16x+3y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）①若x²-4≥0，②若x²-4≤0，分類討論即可求解；
（2）y=1-2x代入2x²+16x+3y²，用配方法即可求解；

解答：解：（1）若x²-4≥0，即|x|≥2，則y=x²-3x-4∴y=(x-

3

2

)2-

25

4

，
若x²-4≤0，即|x|≤2，則y=-x²-3x+4∴y=-(x+

3

2

)2+

25

4

，
∴y=(x-

3

2

)2-

25

4

（2≤x≤5），
當(dāng)x=5時(shí)，y_最大值=6；當(dāng)x=2時(shí)，y_最小值=-6，
對(duì)y=-(x+

3

2

)2+

25

4

（-2≤x≤2），
當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y最大值=

25

4

；x=2時(shí)，y_最小值=-6，
綜上所述，x=2時(shí)，y_最小值=-6；當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，y最大值=

25

4

；

（2）由2x+y=1得x=

1-y

2

，y=1-2x，
由|y|≤1得-1≤x≤1故0≤x≤1，
∴z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3=14(x+

1

7

)2+

19

7

z為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-

1

7

的拋物線，
雖然有最小值

19

7

，但x=-

1

7

不在0≤x≤1的范圍內(nèi)，因此不是所求的最值．
又x=0時(shí)，z=3；x=1時(shí)，z=21．
∴所求的最小值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值，難度適中，關(guān)鍵是掌握用分類討論的思想解題和用配方法求二次函數(shù)的最值．