Question

如圖，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求BD的長；
（2）將△ADC繞D點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，請補(bǔ)充旋轉(zhuǎn)后圖形，并計算CD的長．

Answer 1

解：（1）∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠DAC=∠BCD，
∴=，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；

（2）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC===4，
∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC繞D點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，AD與BD重合，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C′與B、C在同一直線上，且△C′DC為等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4，
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D= C′C=4+．
分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)其解即可；
（2）根據(jù)勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求出∠CAD+∠DBC=180°，從而得到旋轉(zhuǎn)后AD與BD重合，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)C′與B、C在同一直線上，然后判斷出△C′DC為等腰直角三角形，再求出CC′，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計算即可得解．（作圖：延長CB到C′，使C′B=AC，連接C′D即可．）
點(diǎn)評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，直徑所對的圓周角等于直角，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合題，但難度不大．