如圖所示，已知正方形ABCD中，P是BD上任意一點(diǎn)，PE⊥BC，垂足為E點(diǎn)，PF⊥CD垂足為F，求證：AP⊥EF．

答案：略
解析：

證明：如圖所示，連接PC，設(shè)PC與EF交于O，延長(zhǎng)AP交EF于H．

因?yàn)?/FONT>PE⊥BC于E點(diǎn)，PF⊥DC于F點(diǎn)，

所以∠PEC=∠PFC=90°

因?yàn)檎叫嗡膫�(gè)角都為直角，∠ECF=90°，

所以四邊形FCEP是矩形，

所以OE=OF=OC=OP，∠FPE=90°，

所以∠2=∠3．

因?yàn)?/FONT>BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

所以A、C關(guān)于BD成軸對(duì)稱點(diǎn)，

所以△ABP與△CBP關(guān)于BD成軸對(duì)稱，

所以∠3=∠1，所以∠2=∠1．

因?yàn)?/FONT>PE⊥BC，∠ABC=90°，

所以PE∥AB(同位角相等，兩直線平行)，

所以∠4=∠1，所以∠4=∠2，

所以上∠4＋∠FPH=∠2＋∠FPH=90°，

所以∠PHF=90°，所以AP⊥EF．


提示：

要證AP⊥EF，需證AP與EF所成的角為90°，所以應(yīng)延長(zhǎng)AP交EF于H，如圖，證∠PHF=90°．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

33、如圖所示，已知正方形ABCD，延長(zhǎng)CB至E，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交DC于F．
求證：△ADF≌△ABE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

30、如圖所示，已知正方形ABCD，E為BC上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至F，使BF=BE，AE的延長(zhǎng)線交CF于G，
試說(shuō)明：（1）AE=CF；（2）AG⊥CF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•尤溪縣質(zhì)檢）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF，EF交DC于點(diǎn)F，設(shè)BE=x，F(xiàn)C=y，則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象是
①
①
（填序號(hào)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形ABCD的面積是8平方厘米，正方形EFGH的面積是62平方厘米，BC落在EH上，△ACG的面積是4.9平方厘米，則△ABE的面積是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)B在函數(shù)y=
k
x
(k＞0，x＞0)的圖象上，點(diǎn)P（m，n）（6≤m≤9）是函數(shù)y=
k
x
(k＞0，x＞0)的圖象上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，若設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合的兩部分的面積和為S．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值；
（2）寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系和S的最大值．

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