南平是海峽西岸經(jīng)濟(jì)區(qū)的綠色腹地.如圖所示,我市的A、B兩地相距20km,B在A的北偏東45°方向上,一森林保護(hù)中心P在A的北偏東30°和B的正西方向上.現(xiàn)計劃修建的一條高速鐵精英家教網(wǎng)路將經(jīng)過AB(線段),已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以點(diǎn)P為圓心,半徑為4km的圓形區(qū)域內(nèi).請問這條高速鐵路會不會穿越保護(hù)區(qū),為什么?
分析:過P作PM⊥AB于M,延長BP作BC⊥AC于C.在直角△APC中,運(yùn)用三角函數(shù)用求出AC,BC的長.在直角△PCA中,運(yùn)用三角函數(shù)求出PC的長,從而得到PB的長.在直角△PMB中,運(yùn)用三角函數(shù)求出PM,比較PM與4km的大小關(guān)系即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:延長BP作BC⊥AC于C,過P作PM⊥AB于M.
因?yàn)锽在A的北偏東45°方向上,
所以A在B的南偏西45°方向.
在Rt△ABC中,
∵∠CBA=∠CAB=45°,
∴AC=BC=10
2

在直角△PCA中,
∠PAC=30°,則PC=
10
6
3
,
∴PB=10
2
-
10
6
3

在直角△PMB中,
PM=(10
2
-
10
6
3
)×
2
2
=10-
10
3
3
≈4.226.
∵4.226>4,
∴這條高速鐵路不會穿越保護(hù)區(qū).
點(diǎn)評:根據(jù)三角函數(shù)求出PM的長是解決本題的關(guān)鍵.
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