Question

如圖，E、F是邊長為4的正方形ABCD的邊BC、CD上的點，CE=1，CF=

4

3

，直線FE交AB的延長線于G，過線段FG上的一個動點H，作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足為M、N，設(shè)HM=x，矩形AMHN的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，矩形AMHN的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）要求矩形的面積，就要得出AM和MH的值，已知了MH為x，關(guān)鍵是求AM的長，那么必須得出BG，MG的長，可根據(jù)相似三角形CFE和BGE求出BG的長（也可用BE和∠C的正切值來求）．然后在直角三角形GMH中，用HM和∠C的正切值求出MG，這樣就能表示出AM的長，就可得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）可根據(jù)（1）的函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍來求出矩形面積的最大值以及對應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）∵EC=1，BC=4
∴BE=3
∵CF∥BG，
∴△ECF∽△EBG，
∴

CF

BG

=

CE

BE

即：

4 3

BG

=

1

3

∴BG=4
在Rt△GMH中，tan∠G=tan∠CFE=

3

4

，因此MG=

4

3

HM=

4

3

x．
∴AM=AG-MG=AB+BG-MG=4+4-

4

3

x=8-

4

3

x
∴y=x•（8-

4

3

x）=-

4

3

x²+8x（0＜x≤4）；

（2）由（1）的函數(shù)式可知：y=-

4

3

（x-3）²+12
因此當(dāng)x=3時，矩形AMHN的面積最大，最大值為12．

點評：本題主要考查了正方形和矩形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．