Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為的是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：A、由三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，即可求得⊙O的半徑；
B、易證得△ADO∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得⊙O的半徑；
C、易證得四邊形ODCE是正方形，然后由平行線分線段成比例定理，求得⊙O的半徑；
D、易證得四邊形ODCE是正方形，利用切線長(zhǎng)定理，由勾股定理即可求得⊙O的半徑．
解答：設(shè)⊙O的半徑為r，
A、∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，
∴S_△ABC=（a+b+c）•r=ab，
∴r=；
B、如圖，連接OD，則OD=OC=r，OA=b-r，
∵AD是⊙O的切線，
∴OD⊥AB，
即∠AOD=∠C=90°，
∴△ADO∽△ACB，
∴OA：AB=OD：BC，
即（b-r）：c=r：a，
解得：r=；
C、連接OE，OD，
∵AC與BC是⊙O的切線，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEB=∠ODC=∠C=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形，
∴EC=OD=r，OE∥AC，
∴OE：AC=BE：BC，
∴r：b=（a-r）：a，
∴r=；
D、解：設(shè)AC、BA、BC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、F、E；連接OD、OE；
∵AC、BE是⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四邊形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD=r，則AD=AF=b-r；
連接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
則BA+AF=BC+CE，c+b-r=a+r，即r=．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、平行線分線段成比例定理、正方形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．