Question

已知：如圖，矩形ABCD中AB：BC=5：6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，EC=

1

6

BC，F(xiàn)C=

3

5

CD，F(xiàn)G⊥AE與G．求證：AG=4GE．

Answer 1

分析：易得

AD

CF

=

DF

CE

=2，則△CEF∽△DFA，得

AF

EF

=2與∠AFE=90°．所以通過(guò)相似三角形：△AFE∽△AGF的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

AF

EF

=

AG

FG

=2，則AG=2FG．△AFG∽△FEG的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

AF

EF

=

FG

EG

=2，則EG=

1

2

FG，由此易證得結(jié)論．

解答：證明：如圖∵矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB：BC=5：6，EC=

1

6

BC，F(xiàn)C=

3

5

CD，
∴DF=

2

5

CD．
∴

AD

CF

=

BC

3 5 AB

=2，

DF

CE

=

2 5 CD

1 6 BC

=

2 5 AB

1 6 BC

=2，
∴

AD

CF

=

DF

CE

．
又∵∠ECF=∠FDF，
∴△CEF∽△DFA，

AF

EF

=

AD

CF

=2，∠AFD=∠FEC，
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°．
又∵FG⊥AE，
∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴

AF

AG

=

EF

FG

，即

AF

EF

=

AG

FG

=2，則AG=2FG．

AF

EF

=

FG

EG

=2，則EG=

1

2

FG，
∴AG=4EG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)．此題難度較大，知識(shí)綜合性較強(qiáng)．在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意充分利用公共角這一條件．