Question

代數(shù)式

9x2+4

+

9x2-12xy+4y2+1

+

4y2-16y+20

達(dá)到最小值時(shí)，x、y的值分別為

8

15

，

6

5

．

Answer 1

分析：將原式化為

(0-3x)2 +(3-1)2

+

(3x-2y)2+(1-0)2

+

(2y-4)2+ (0-2)2

，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：

(0-3x)2 +(3-1)2

可以看成是坐標(biāo)軸上A（0，3）與B（3x，1）兩點(diǎn)的距離，

(3x-2y)2+(1-0)2

可看成是B（3x，1）與C（2y，0）的距離，

(2y-4)2+ (0-2)2

則為C（2y，0）與D（4，2）的距離，繼而利用軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題求解即可．

解答：解：原式=

(0-3x)2 +(3-1)2

+

(3x-2y)2+(1-0)2

+

(2y-4)2+ (0-2)2

，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：

(0-3x)2 +(3-1)2

可以看成是坐標(biāo)軸上A（0，3）與B（3x，1）兩點(diǎn)的距離，

(3x-2y)2+(1-0)2

可看成是B（3x，1）與C（2y，0）的距離，

(2y-4)2+ (0-2)2

則為C（2y，0）與D（4，2）的距離，
在坐標(biāo)軸上找出A、B、C和D四點(diǎn)的位置如下所示，點(diǎn)B在直線(xiàn)y=1上，點(diǎn)C在x軸上，

作點(diǎn)D（4，2）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)到點(diǎn)E（4，-2），后連接DE兩點(diǎn)，其與直線(xiàn)y=1的交點(diǎn)即是代數(shù)式達(dá)到最小值時(shí)的B點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)即是代數(shù)式達(dá)到最小值時(shí)的C點(diǎn)，
可以算出此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

8

5

，0），解得x=

8

15

；
此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

12

5

，0），解得y=

6

5

．
故答案為：

8

15

，

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑的知識(shí)求解無(wú)理函數(shù)的最值，找出A、B、C和D四點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵，有一定的技巧性．