Question

在平面直角坐標系中，點P（1，2），當△PAO是等腰直角三角形，且∠OPA=90°時，點A的坐標為________．

Answer 1

（3，1）或（-1，3）
分析：過點P作PC⊥x軸于點C，根據(jù)點P的坐標求出OC、PC的長度，過點A作AD⊥PC于D，先求出∠A=∠OPC，然后證明△POC和△APD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PD=OC，AD=PC，然后分情況求出點A的橫坐標與縱坐標的長度，即可得解．
解答：如圖，過點P作PC⊥x軸于點C，
∵點P（1，2），
∴OC=1，PC=2，
過點A作AD⊥PC于D，
∵△PAO是等腰直角三角形，
∴∠OPC+∠APD=90°，
∠A+∠APD=90°，
∴∠A=∠OPC，
在△POC和△APD中，，
∴△POC≌△APD（AAS），
∴PD=OC=1，AD=PC=2，
①點A在點P的右邊時，點A的橫坐標的長度為OC+AD=1+2=3，
點A的縱坐標是PC-PD=2-1=1，
此時，點A的坐標是（3，1）；
②點A在點P的左邊時，點A的橫坐標的長度為2-1=1，
點A的縱坐標是2+1=3，
∵點A在第二象限，
∴此時，點A的坐標是（-1，3），
綜上所述，點A的坐標是（3，1）或（-1，3）．
故答案為：（3，1）或（-1，3）．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，利用作輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵，要注意分情況討論求解．