Question

【題目】已知三角形紙片ABC，其中∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點E，F分別是AC，AB上的點，連接EF．

（1）如圖1，若將紙片ABC沿EF折疊，折疊后點A剛好落在AB邊上點D處，且S△ADE=S四邊形BCED，求ED的長；

（2）如圖2，若將紙片ABC沿EF折疊，折疊后點A剛好落在BC邊上點M處，且EM∥AB．

①試判斷四邊形AEMF的形狀，并說明理由；

②求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝5；（2）①四邊形AEMF是菱形，證明見解析；②

【解析】

（1）先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF＝S△DEF，則易得S△ABC＝5S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到兩個三角形面積比和AB，AE的關(guān)系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；

（2）①根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形證明即可；

②設AE＝x，則EM＝x，CE＝8x，先證明△CME∽△CBA得到關(guān)于x的比例式，解出x后計算出CM的值，再利用勾股定理計算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計算EF．

（1）∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，

∴S△AEF＝S△DEF，

∵S△ADE＝S四邊形BCDE，

∴S△ABC＝4S△AEF，

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90，AB＝10，BC＝6，

∴AC＝8，

∵∠EAF＝∠BAC，

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴，即，

∴AE＝5(負值舍去)，

由折疊知，DE＝AE＝5．

（2）①如圖2中，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，

∴AE＝EM，AF＝MF，∠AFE＝∠MFE，

∵ME∥AB，

∴∠AFE＝∠FEM

∴∠MFE＝∠FEM，

∴ME＝MF，

∴AE＝EM＝MF＝AF，

∴四邊形AEMF為菱形．

②設AE＝x，則EM＝x，CE＝8x，

∵四邊形AEMF為菱形，

∴EM∥AB，

∴△CME∽△CBA，

∴，

即，

解得x＝，CM＝，

在Rt△ACM中，AM＝，

∵S菱形AEMF＝EFAM＝AECM，

∴EF＝2×．