Question

如圖所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．

Answer 1

證明：找到BC的中點(diǎn)H，連接MH，NH．如圖：
∵M(jìn)，H為BE，BC的中點(diǎn)，∴MH∥EC，且MH=EC．
∵N，H為CD，BC的中點(diǎn)，∴NH∥BD，且NH=BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵M(jìn)H∥EC，∴∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ為等腰三角形，
∴AP=AQ．
分析：根據(jù)中位線定理證明MH=NH，進(jìn)而證明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ為等腰三角形，即AP=AQ．
點(diǎn)評(píng)：考查中位線定理在三角形中的應(yīng)用，考查平行線對(duì)角相等，考查等腰三角形的判定．