Question

如圖，已知直線y=kx+b與y=mx+n交于點P（1，4），它們分別與x軸交于A、B，PA=AB，PB=2

5

．
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）若BP交y軸于點C，求四邊形PCOA的面積．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）作PH⊥x軸于H，如圖，由P點坐標得PH=4，OH=1，先利用勾股定理可計算出BH=2，則OB=BH-OH=1，得到B點坐標為（-1，0），設AH=t，則AB=t+2，PA=AB=t+2，在Rt△PAH中，根據(jù)勾股定理得到4²+t²=（t+2）²，解得t=3，則OA=OH+AH=4，得到A點坐標為（4，0），然后利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)解析式；
（2）先確定C點坐標為（0，2），然后根據(jù)三角形面積公式和四邊形PCOA的面積=S_△PAB-S_△BCO進行計算．

解答：解：（1）作PH⊥x軸于H，如圖，
∵P點坐標為（1，4），
∴PH=4，OH=1，
∵PB=2

5

，
∴BH=

PB2-PH2

=2，
∴OB=BH-OH=1，
∴B點坐標為（-1，0），
設AH=t，則AB=t+2，PA=AB=t+2，
在Rt△PAH中，
∵PH²+AH²=PA²，
∴4²+t²=（t+2）²，解得t=3，
∴OA=OH+AH=1+2=3，
∴A點坐標為（3，0），
把A（3，0），P（1，4）代入y=kx+b得

3k+b=0 k+b=4

，解得

k=-2 b=6

；
把B（-1，0），P（1，4）代入y=mx+n得

-m+n=0 m+n=4

，解得

m=2 n=2

，
∴兩函數(shù)解析式分別為y=-

4

3

x+

16

3

；y=2x+2；
（2）把x=0代入y=2x+2得y=2，則C點坐標為（0，2），
四邊形PCOA的面積=S_△PAB-S_△BCO
=

1

2

×5×4-

1

2

×1×2
=9．

點評：本題考查了兩直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．