Question

【題目】已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°
（1）如圖1，若E、F分別在AC、BC邊上，猜想AE2、BF2和EF2之間有何等量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若E、F分別在CA、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立（不作證明）

Answer 1

【答案】
（1）結(jié)論：AE2+BF2=EF2．

理由：如圖1中，延長(zhǎng)FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，

∴AE2+BF2=EF2．

（2）如圖2中，結(jié)論不變．AE2+BF2=EF2

理由：延長(zhǎng)FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．

在△ADM和△BDF中，

，

∴△ADM≌△BDF，

∴AM=BF，∠B=∠MAD，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，

∵∠EDF=90°，

∴ED⊥FM，∵DM=DF，

∴EM=EF，

在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，

∴AE2+BF2=EF2．

【解析】（1）結(jié)論：AE2+BF2=EF2 ． 如圖1中，延長(zhǎng)FD到M，使得DM=DF，連接AM，EM．首先證明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再證明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論不變，證明方法類(lèi)似．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，需要了解直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半才能得出正確答案．