Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并寫(xiě)出經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與原點(diǎn)O重合）時(shí)，∠ABQ是否發(fā)生改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不改變，請(qǐng)求出∠ABQ的大小；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)T為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的T點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB總成立，得出當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°，
（3）根據(jù)點(diǎn)P在x的正半軸還是負(fù)半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
（4）若點(diǎn)T為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，則T在OA、OB、OC的垂直平分線(xiàn)上，如圖4所示，然后通過(guò)解直角三角形即可求得T的坐標(biāo)．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，如圖1，
∵A（0，2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，OC=AC=1，即B（$\sqrt{3}，1$）；
拋物線(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2；
（2）不改變．
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$
∴△APO≌△AQB，
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°．
（3）由（2）可知，點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線(xiàn)上，可見(jiàn)AO與BQ不平行．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，如圖2，
此時(shí)，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當(dāng)AB∥OQ時(shí)，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0）．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在B的上方，如圖3，
此時(shí)，若AQ∥OB，四邊形AOBQ即是梯形，
當(dāng)AQ∥OB時(shí)，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2$\sqrt{3}$，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2$\sqrt{3}$，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0）．
綜上，P的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$，0）．
（4）若點(diǎn)T為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且△TOA，△TOB，△TAB均為等腰三角形，則T在OA、OB、OC的垂直平分線(xiàn)上，如圖4所示，
∵A（0，2），（$\sqrt{3}$，1），
∴T₁（$\sqrt{3}$-2，1），T₂（1，2-$\sqrt{3}$），T₃（1，$\sqrt{3}$），T₄（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．
故T點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$-2，1）或（1，2-$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、梯形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中．