Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使得CD=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F，連接AE、DE、DF．

（1）證明：∠E=∠C；

（2）若∠E=55°，求∠BDF的度數(shù)；

（3）設(shè)DE交AB于點(diǎn)G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中點(diǎn)，求EGED的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BDF=110°；（3）18

【解析】試題解析：（1）直接利用圓周角定理得出AD⊥BC，勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；

（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠AFD=180°﹣∠E，進(jìn)而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；

（3）根據(jù)cosB=，得出AB的長(zhǎng)，再求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．

試題解析：（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；

（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：連接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=，∵E是的中點(diǎn)，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴，即EGED==18．