Question

如圖，⊙O中半徑OA=2，∠AOB=60°，P為

AB

上的點(diǎn)，PM⊥OA于M，

PN⊥OB于N．
（1）若P是

AB

的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)P不是

AB

的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若∠AOB=45°，求MN的長(zhǎng)．（不用證明）

Answer 1

（1）連接OP，
∵P為

AB

中點(diǎn)
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°
∵PM⊥OA于Mcos∠AOP=

OM

OP

=

3

2

，
∴OM=

3

同理ON=

3

∴OM=ON，
∵∠AOB=60°，
∴△OMN為等邊三角形
∴MN=

3

；

（2）長(zhǎng)度不變．
設(shè)Pn為

AB

中點(diǎn)，垂足為Mn，Nn分別延長(zhǎng)PM，PN，PnMn，PnNn交⊙O于E，F(xiàn)，
En，F(xiàn)n由于∠EPF=∠EnPnFn=120°
∴EF=EnFn
又MN，MnNn分別為△PEF，△PnEnFn的中位線
∴MN=

1

2

EF，MnNn=

1

2

EnFn
∴MN=MnNn

（3）由（1），（2）可知P點(diǎn)取

AB

上任一點(diǎn)時(shí)MN長(zhǎng)度不變，包括P點(diǎn)與A，B重合時(shí)，
故當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
讓點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，
PN=

2

2

?2=

2

當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
MN=

2

．