Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0（m為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）求證：無論m為何值，方程總有一個固定的根；
（3）若m為整數，且方程的兩個根均為正整數，求m的值及方程所有的根．

Answer 1

分析：（1）先根據方程有兩個不相等的實數根得出關于m的不等式，求出m的取值范圍即可；
（2）由公式法得出方程的兩個實數根即可作出判斷；
（3）根據m為整數，且方程的兩個根均為正整數，可知（2）中所求兩根均為整數，得出符合條件的m的值即可．

解答：解：（1）∵△=b²-4ac=[-3（m-1）]²-4m（2m-3）=（m-3）²，
∵方程有兩個不相等的實數根，
∴（m-3）²＞0且 m≠0，
∴m≠3且 m≠0，
∴m的取值范圍是m≠3且 m≠0；

（2）證明：由求根公式x=

-b± b2-4ac

2a

=

3(m-1)±(m-3)

2m

，
∴x1=

3m-3+m-3

2m

=

2m-3

m

=2-

3

m

，x2=

3m-3-m+3

2m

=1
∴無論m為何值，方程總有一個固定的根是1；

（3）∵m為整數，且方程的兩個根均為正整數，
∴x1=2-

3

m

必為整數，
∴m=±1或m=±3，
當m=1時，x₁=-1（舍去）；當m=-1時，x₁=5；當m=3時，x₁=1；當m=-3時，x₁=3．
∴m=-1或m=±3．

點評：本題考查的是根與系數的關系、用公式法解一元二次方程，熟知以上知識是解答此題的關鍵．