Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左側(cè)，若拋物線的對稱軸為x=1，點A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為C，拋物線上一點D的坐標(biāo)為（-3，12），過點B、D的直線與拋物線的對稱軸交于點E．問：是否存在這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若在BD上存在一點P，使得直線AP將四邊形ACBD分成了面積相等的兩部分，請你求出此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）如圖，∵拋物線的對稱軸為x=1，點A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴B（3，0），
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
答：這個二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x-3．

（2）頂點C的坐標(biāo)為（1，-4），
∵D的坐標(biāo)為（-3，12），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b₁，
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為y=-2k+6，
∴點E的坐標(biāo)為（1，4），
由題意，點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴點F的坐標(biāo)為（3，8）、（3，-8）或（-1，0），
答：存在這樣的點F，使得以點B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，點F的坐標(biāo)是（3，8），（3，-8），（-1，0）．

（3）四邊形ACBD的面積=S_△ABC+S_△ABD=×4×12+×4×4=32，
∴S_{四邊形ACBD}=16，
∵S_△ABC=8，
∴S_△ABP=8，
∴點P的縱坐標(biāo)為4．
∵直線BD的解析式為y=-2x+6，
∴點P的坐標(biāo)為（1，4），
答：點P的坐標(biāo)是（1，4）．
分析：（1）根據(jù)對稱軸求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出直線BD，求出E的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出F的坐標(biāo)；
（3）求出四邊形ACBD的面積，再求出△ABP的面積，即可求出P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查對三角形的面積，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、解二元一次方程組，一次函數(shù)的解析式等知識點的理解和掌握，能熟練地運用性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．