Question

11．如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底邊BC上的一個動點（P與B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑的⊙P與射線BA交于點D，射線PD交射線CA于點E．
（1）若點E在線段CA的延長線上，設(shè)BP=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．
（2）當(dāng)BP=2$\sqrt{3}$時，試說明射線CA與⊙P是否相切．
（3）連接PA，若S_△APE=$\frac{1}{8}$S_△ABC，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=AC•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$=6$\sqrt{3}$，于是得到y(tǒng)=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3，根據(jù)BD=2BH=$\sqrt{3}$x＜6，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到PE=$\frac{1}{2}$PC=2$\sqrt{3}$=PB，于是得到射線CA與⊙P相切；
（3）D在線段BA上和延長線上兩種情況，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，
∵∠BAC=120°，AB=AC=6，
∴∠B=∠C=30°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠B=30°，CF=AC•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=∠CPE=60°，
∴∠CEP=90°，
∴CE=AC+AE=6+y，
∴PC=$\frac{CE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$，
∵BC=6$\sqrt{3}$，
∴PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}（6+y）}{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3，
∵BD=2BH=$\sqrt{3}$x＜6，
∴x＜2$\sqrt{3}$，
∴x的取值范圍是0＜x＜2$\sqrt{3}$；

（2）∵BP=2$\sqrt{3}$，∴CP=4$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC=2$\sqrt{3}$=PB，
∴射線CA與⊙P相切；

（3）當(dāng)D點在線段BA上時，
連接AP，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AF=$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$，
∵S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$y•$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（6+y）=$\frac{1}{8}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
解得：y=$\frac{\sqrt{63}-6}{2}$，代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3得x=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{21}$．

當(dāng)D點BA延長線上時，
PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$EC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（6-y），
∴PB+CP=x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（6-y）=6$\sqrt{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-3，
∵∠PEC=90°，
∴PE=$\frac{EC}{\sqrt{3}}$=$\frac{AC-AE}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-y），
∴S_△APE=$\frac{1}{2}$AE•PE=$\frac{1}{2}$x•=$\frac{1}{2}$y•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-y）=$\frac{1}{8}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
解得y=$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-3得x=3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．
綜上可得，BP的長為4$\sqrt{3}$-$\sqrt{21}$或3$\sqrt{3}$或5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，求一次函數(shù)的解析式，證得PE⊥AC是解題的關(guān)鍵．