Question

已知：如圖，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．請(qǐng)你通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想線段AB、AC之和與線段AM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
猜想：________．
證明：

Answer 1

AB+AC=2AM
分析：根據(jù)題目提供的條件和圖形中線段的關(guān)系，做出猜想AB+AC=2AM，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，CE與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，進(jìn)一步證明AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE，從而得到AB+AC=2AM．
解答：猜想：AB+AC=2AM．（1分）
證明：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，CE與AM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（2分）
則∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（3分）
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
（角平分線定義）
∴∠E=∠CAD．（等量代換）
∴AC=EC．（等角對(duì)等邊）（4分）
又CM⊥AD于M，
∴AM=ME，即AE=2AM．
（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合）
（5分）
∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等邊對(duì)等角）
又∠EDC=∠ADB，（對(duì)頂角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代換）
∴ED=EC．（等角對(duì)等邊）（6分）
∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代換）
∴AB+AC=2AM．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地做出猜想，然后向著這個(gè)目標(biāo)努力即可．