已知:如圖,在⊿ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,點D在邊BC上,AD平分∠CAB,E為AC上的一個動點(不與A、C重合),EF⊥AB,垂足為F.
(1)求證:AD=DB;
(2)設(shè)CE=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)∠DEF=90°時,求BF的長.
(1)在⊿ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵ AD平分∠CAB,
∴∠DAB=30°.
∴∠DAB=∠B,
∴AD=DB.
(2)在⊿AEF中,∵∠AFE=90°,∠EAF=60°,∴∠AEF=30°.
∴.
在Rt⊿ABC中,∵∠B=30°,AC=6,∴AB=12.
∴.
∴
(3)當(dāng)∠DEF=90°時,∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°.
∴∠EDC=30°,ED=2x.
又∵∠EDA=∠EAD=30°,∴ED=AE=6-x.
∴有 2x=6-x,得x=2.
此時,.
即BF的長為10.
【解析】(1)利用直角三角形兩銳角互余,角平分線的定義,最后由等角對等邊得出結(jié)論。
(2)利用直角三角形所對的直角邊等于斜邊的一半,
(3)利用(2)的結(jié)論,根據(jù)等角對等邊得到方程求出x值,從而求出BF的長。
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