Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F，且CE=BF.

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）當(dāng)∠BAC的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形AECF是正方形.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；（2）∠BAC=45.

【解析】

(1) 根據(jù)中垂線的性質(zhì):中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等, 有BE=EC, BF=FC, 根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷;

(2)由菱形的性質(zhì)知,對(duì)角線平分一組對(duì)角,即當(dāng)∠BAC=45時(shí),∠EAF=90,則菱形AECF為正方形.

證明: (1)

AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)D

CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF,

又∠ACB=90°，EF∥BC,

△ADF∽△ACB,

AF:AB=AD:AC, CD=AD,D為AC的中點(diǎn)，

AF:AB=AD:AC=1：2，

F為AB中點(diǎn),

BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF,

又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF

CE= CF= AF= AE

四邊形BECF是菱形.

（2）當(dāng)∠BAC=45時(shí), 四邊形AECF是正方形.

證明:∠BAC=45,四邊形AECF是菱形,

∠EAC=∠BAC=45,

∠EAF =∠EAC+∠BAC =90,

菱形AECF是正方形.