Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；

（2）求cos∠AED的值；

（3）如果BD=10，求半徑CD的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析；（2）；（3）5.

【解析】

試題分析：（1）欲證點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，只須證AF=DF，可以證明△AEF≌△DEF得出；

（2）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出；

（3）根據(jù)△AEC∽△BEA易得AE²=CE•BE，因此（5k）²=k•（10+5k），解得k=2，所以CD=k=5．

試題解析：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，

∴∠ADE=∠DAE，

∴ED=EA，

∵ED為⊙O直徑，

∴∠DFE=90°，

∴EF⊥AD，

∴點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；

（2）解：連接DM，

設(shè)EF=4k，DF=3k，

則ED=，

∵AD•EF=AE•DM，

∴DM=，

∴ME=，

∴cos∠AED=；

（3）∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，

∴△AEC∽△BEA，

∴AE：BE=CE：AE，

∴AE²=CE•BE，

∴（5k）²=k•（10+5k），

∵k＞0，

∴k=2，

∴CD=k=5．

考點(diǎn): 1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)的定義．