Question

如圖，等邊△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，CP是BC的延長線．按下列要求作圖并回答問題：（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（1）作∠ACP的平分線CF；
（2）作∠ADE=60°，且DE交CF于點(diǎn)E；
（3）在（1），（2）的條件下，可判斷AD與DE的數(shù)量關(guān)系是

 

；
請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的作法作圖即可；
（2）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；
（3）連接AE，首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算出∠BAD=∠EDC=30°，∠DEC=∠EDC=30°，進(jìn)而得到CE=CD=BD，然后證明△ABD≌△ACE可得AD=AE，再由∠ADE=60°，可得△ADE是等邊三角形，進(jìn)而得到AD=DE．

解答：解：（1）尺規(guī)作圖，如圖
（2）尺規(guī)作圖，如圖； 
（3）AD=DE．
理由如下：
解法一：如圖，連接AE，
∵等邊△ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，
∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC=30°，
∵∠ACP=120°，CE為∠ACP的平分線，
∴∠ACE=∠ECP=60°，
∴∠DEC=∠ECP-∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠EDC=30°，
∴CE=CD=BD．                                 
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠B=∠ACE=60° DB=CE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
                      
解法二：如圖，過點(diǎn)D作DM∥AC交AB于點(diǎn)P，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△BDM為等邊三角形，BM=BD，∠BMD=∠BDM=60°．
∵AB=BC，
∴AB-BM=BC-BD，即AM=CD．
∵∠ADC為△ABD的外角，
∴∠ADC=∠BAD+∠B，
而∠ADC=∠EDC+∠ADE，
∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC．
∵∠ACP=120°，CE為∠ACP的平分線，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=120°，
∴∠AMD=∠DCE=120°．
在△ADM和△DEC中，

∠DAM=∠EDC AM=DC ∠AMD=∠DCE

，
∴△ADM≌△DEC（ASA），
∴AD=DE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確掌握全等三角形的判定方法，掌握證明全等是證明角相等的一種重要手段．