Question

如圖，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D．M為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在射線CB上（點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合），且MC = MN．設(shè)AM = x．

（1）如果CD = 3，AM = CM，求AM 的長(zhǎng)；

（2）如果CD = 3，點(diǎn)N在邊BC上．設(shè)CN = y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

（3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，試判斷線段ME的長(zhǎng)是否會(huì)改變？說(shuō)明你的理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2），（3）線段ME的長(zhǎng)不變，理由見(jiàn)解析

【解析】解：（1）∵  AC = BC，∴  ∠A =∠B．

∵  AC = BC，CD⊥AB，∴  ．……………………（1分）

由勾股定理，得  ．………………（1分）

∵  AM = CM，∴  ∠A =∠ACM．

即得  ∠ACM =∠B．

∴  △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分）

∴  ．∴  ．即得  ．………………（1分）

（2）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥BC，垂足為點(diǎn)F．

由  AM = x，得  BM = 8 –x．

∵  MF⊥BC，CD⊥AB，

∴∠MFB =∠ADC = 90°．

又∵  ∠A =∠B，∴  △MBF∽△ACD．……………………………（2分）

∴  ．即得  ．

∴  ．

∴  ．…………………………（1分）

∵  MC = MN，MF⊥BC，

∴  ．

即得  ．……………………………………………………（1分）

定義域?yàn)?nbsp; ．………………………………………………（1分）

（3）當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，線段ME的長(zhǎng)不變，ME = 4．…………（1分）

由點(diǎn)N在射線CB上，可知點(diǎn)N在邊BC上或點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上．

（�。┤绻�點(diǎn)N在邊BC上，可知點(diǎn)M在線段AD上．

∵  AC = BC，∠ACB = 90°，∴  ∠A =∠B = 45°．

又∵  AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，

∴  CD = BD = 4．

即得  ．

∵  MC = MN，∴  ∠MCN =∠MNC．

∵  ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，

∴  ∠MCD =∠NME．

又∵  CD⊥AB，NE⊥AB，∴  ∠CDM =∠MEN = 90°．

∴  △MCD≌△MNE（A．A．S）．

∴  ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）

（ⅱ）如果點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上，可知點(diǎn)M在線段BD上，且點(diǎn)E在邊AB的延長(zhǎng)線上．

于是，由  ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°，

          ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，

          ∠MCN =∠MNC，

得  ∠MCD =∠BMN．

再由  MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，

得  △MCD≌△MNE（A．A．S）．

∴  ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）

∴　　由（�。�、（ⅱ）可知，當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，線段ME的長(zhǎng)不變，ME = 4．

（1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出；

       （2）證明△MBF∽△ACD，可得；

    （3）注意點(diǎn)N在射線CB上，應(yīng)該包括兩種情況：點(diǎn)N在邊BC上或點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上．