Question

如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點A，分別過點B，C作直線l的垂線，垂足分別為D，E，求證：DE=BD+CE；
（1）將直線l繞點A逆時針旋轉到直線l與BC相交，且∠BAD＜45°（如圖2）時，其它條件不變，請你探索DE，BD，CE之間的數(shù)量關系，并證明之；
（2）繼續(xù)旋轉，使45°＜∠BAE＜90°（如圖3），其它條件不變，此時（1）中的結論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，DE，BD，CE之間又怎樣的數(shù)量關系？（不需證明）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：如圖1，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進而得出結論；
（1）如圖2，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進而得出結論；
（2）如圖3，由BD⊥l，CE⊥l就可以得出∠BDA=∠CEA=90°，由∠BAC=90°就可以得出∠ABD=∠CAE，就可以得出△ABD≌△CAE就可以得出AD=CE，BD=AE，進而得出結論．

解答：證明：如圖1，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（1）DE=CE-BD
理由：如圖2，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（2）DE=BD-CE．
理由：如圖3，∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠DAB=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠CEA ∠ABD=∠CAE AB=CA

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE，BD=AE
∵DE=AE-AD，
∴DE=BD-CE．

點評：本題考查了直角三角形的性質的運用，垂直的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．