Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上，且RP=RQ．
（1）求證：RQ是⊙O的切線；
（2）求證：OB²=PB•PQ+OP²；
（3）當(dāng)RA≤OA時(shí)，試確定∠B的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明RQ是⊙O的切線只要證明∠OQR=90°即可；
（2）先證明△BCP∽△AQP，從而得到PB•PQ=PC•PA，整理即可得到OB²=PB•PQ+OP²；
（3）分別考慮當(dāng)RA=OA時(shí)或與A重合時(shí)，∠B的度數(shù)，從而確定其取值范圍．
解答：證明：（1）連接OQ；
∵OB=OC，PR=RQ；
∴∠OBP=∠OQP，∠RPQ=∠RQP；
∵∠OBP+∠BPO=90°，∠BPO=∠RPQ；
∴∠OQP+∠RQP=90°；
即∠OQR=90°，
∴RQ是⊙O的切線．

證明：（2）延長(zhǎng)AO⊙O交于點(diǎn)C；
∵∠BPC=∠QPA，∠BCP=∠AQP，
∴△BCP∽△AQP，
∴PB•PQ=PC•PA=（OC+OP）（OA-OP）=（OB+OP）（OB-OP）=OB²-OP²，
∴OB²=PB•PQ+OP²．

解：（3）當(dāng)RA=OA時(shí)，∠R=30°，易得∠B=15°，當(dāng)R與A重合時(shí)，∠B=45°；
∵R是OA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，
∴R與A不重合，
∴∠B≠45°；
又∵RA≤OA，
∴∠B＜45°，
∴15°≤B＜45°．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)切線的判定及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．