Question

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如圖1，在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由勾股定理得AB²=|x₂﹣x₁|²+|y₂﹣y₁|²，所以A，B兩點(diǎn)間的距離為AB= ．

我們知道，圓可以看成到圓心距離等于半徑的點(diǎn)的集合，如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，A（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則A到原點(diǎn)的距離的平方為OA²=|x﹣0|²+|y﹣0|²，當(dāng)⊙O的半徑為r時(shí)，⊙O的方程可寫(xiě)為：x²+y²=r²．

問(wèn)題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P（a，b），半徑為r，那么⊙P的方程可以寫(xiě)為�。� 綜合應(yīng)用：

如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=，作PD⊥OA，垂足為D，延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)B，連接AB．

①證明AB是⊙P的切點(diǎn)；

②是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫(xiě)出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：?jiǎn)栴}拓展：設(shè)A（x，y）為⊙P上任意一點(diǎn)，

∵P（a，b），半徑為r，

∴AP²=（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²．

故答案為（x﹣a）²+（y﹣b）²=r²；

綜合應(yīng)用：

①∵PO=PA，PD⊥OA，

∴∠OPD=∠APD．

在△POB和△PAB中，

，

∴△POB≌△PAB，

∴∠POB=∠PAB．

∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，

∴∠POB=90°，

∴∠PAB=90°，

∴AB是⊙P的切線；

②存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q．

當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP中點(diǎn)時(shí)，

∵∠POB=∠PAB=90°，

∴QO=QP=BQ=AQ．

此時(shí)點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．

∵∠POB=90°，OA⊥PB，

∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA，

∴tan∠OBP==tan∠POA=．

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），

∴OP=6，OB=OP=8．

過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于H，如圖3，

則有∠QHB=∠POB=90°，

∴QH∥PO，

∴△BHQ∽△BOP，

∴===，

∴QH=OP=3，BH=OB=4，

∴OH=8﹣4=4，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），

∴OQ==5，

∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O的方程為（x﹣4）²+（y﹣3）²=25．