Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P. 求證：

（1）D是BC的中點(diǎn)；

（2）△BEC ∽△ADC；

（3）AB× CE=2DP×AD．

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。

∵AB=AC，∴D是BC的中點(diǎn)。

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，

∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。

（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。

∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。

∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。

∴�！�。

∵BC=2BD，∴，即。

∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE�！�。

∴，即AB•CE=2DP•AD。

【解析】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點(diǎn)。

（2）由AB是⊙O的直徑，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可證得△BEC∽△ADC。

（3）易證得△ABD∽△BCE與△BPD∽△BCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得AB•CE=2DP•AD。