Question

如圖，某中學校園有一塊長為35m，寬為16m的長方形空地，其中有一面已經(jīng)鋪設長為26m的籬笆圍墻，學校設計在這片空地上，利用這面圍墻和用盡已有的可制作50m長的籬笆材料，圍成一個矩形花園或圍成一個半圓花園，請回答以下問題：
（1）能否圍成面積為300m²的矩形花園？若能，請寫出其中一種設計方案，若不能，請說明理由．
（2）若圍成一個半圓花園，則該如何設計？請寫出你的設計方案．（π取3.14）
（3）圍成的各種設計中，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）首先表示出矩形的長與寬，利用矩形面積得出等式，進而解方程得出；
（2）利用已知得出設新增加am，則半圓弧長為：π×

26+a

2

，進而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用二次函數(shù)最值求法得出矩形最值再利用半圓面積公式得出半圓面積，進而比較即可．

解答：解：（1）設垂直于已經(jīng)鋪設長為26m的籬笆圍墻的一邊為xm，則平行于原籬笆的長為（50-2x）m，
根據(jù)題意得出：x（50-2x）=300，
解得：x₁=10，x₂=15，
當x=10，則50-20=30＞26，故不合題意舍去，
∴能圍成面積為300m²的矩形花園，此時長為20m，寬為15m；

（2）∵當r=13時，∴l(xiāng)_半圓=πr=3.14×13=40.82＜50，
∴半圓的直徑應大于26m，設新增加am，則半圓弧長為：π×

26+a

2

，
∴a+π×

26+a

2

=50，
解得：a≈3.57，
∴半圓直徑為：26+3.57=29.57（m），
∴半圓的半徑為：14.79m；

（3）S₁=x（50-2x）=-2x²+50x，
當x=12.5時，S_最大=

-2500

4×(-2)

=312.5（m²），
S_半圓=

1

2

π×14.79²≈343.43（m²），
∴圍成的各種設計中，最大面積是半圓面積為343.43m²．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數(shù)最值求法和半圓面積公式，利用已知注意用盡已有的可制作50m長的籬笆材料得出半圓半徑是解題關鍵．