Question

【題目】(1)問題提出：蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)(上冊)習(xí)題2.1有這樣一道練習(xí)題：如圖①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？

在解決此題時(shí)，若想要說明“點(diǎn)B、C、D、E在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上”，在連接MD、ME的基礎(chǔ)上，只需證明　 ．

(2)初步思考：如圖②，BD、CE是銳角△ABC的高，連接DE．求證：∠ADE＝∠ABC，小敏在解答此題時(shí)，利用了“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”進(jìn)行證明．(請你根據(jù)小敏的思路完成證明過程．)

(3)推廣運(yùn)用：如圖③，BD、CE、AF是銳角△ABC的高，三條高的交點(diǎn)G叫做△ABC的垂心，連接DE、EF、FD，求證：點(diǎn)G是△DEF的內(nèi)心．

Answer 1

【答案】(1)ME＝MD＝MB＝MC；(2)證明見解析；(3)證明見解析．

【解析】

(1)要證四個(gè)點(diǎn)在同一圓上，即證明四個(gè)點(diǎn)到定點(diǎn)距離相等．

(2)由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，即能證ME＝MD＝MB＝MC，得到四邊形BCDE為圓內(nèi)接四邊形，故有對角互補(bǔ)．

(3)根據(jù)內(nèi)心定義，需證明DG、EG、FG分別平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，可得同弧所對的圓周角∠CBD＝∠CED．又因?yàn)椤?/span>BEG＝∠BFG＝90°，根據(jù)(2)易證點(diǎn)B、F、G、E也四點(diǎn)共圓，有同弧所對的圓周角∠FBG＝∠FEG，等量代換有∠CED＝∠FEG，同理可證其余兩個(gè)內(nèi)角的平分線．

解：(1)根據(jù)圓的定義可知，當(dāng)點(diǎn)B、C、D、E到點(diǎn)M距離相等時(shí)，即他們在圓M上

故答案為：ME＝MD＝MB＝MC

(2)證明：連接MD、ME

∵BD、CE是△ABC的高

∴BD⊥AC，CE⊥AB

∴∠BDC＝∠CEB＝90°

∵M為BC的中點(diǎn)

∴ME＝MD＝BC＝MB＝MC

∴點(diǎn)B、C、D、E在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上

∴∠ABC+CDE＝180°

∵∠ADE+∠CDE＝180°

∴∠ADE＝∠ABC

(3)證明：取BG中點(diǎn)N，連接EN、FN

∵CE、AF是△ABC的高

∴∠BEG＝∠BFG＝90°

∴EN＝FN＝BG＝BN＝NG

∴點(diǎn)B、F、G、E在以點(diǎn)N為圓心的同一個(gè)圓上

∴∠FBG＝∠FEG

∵由(2)證得點(diǎn)B、C、D、E在同一個(gè)圓上

∴∠FBG＝∠CED

∴∠FEG＝∠CED

同理可證：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG

∴點(diǎn)G是△DEF的內(nèi)心