Question

如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分線分別與AD、AC交于E，F(xiàn)，H為EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AH⊥EF；
（2）設(shè)△AHF、△BDE、△BAF的周長為c_l、c₂、c₃．試證明：，并指出等號成立時(shí)的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠BAC=90°，AD⊥BC，則∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠DEB，再由BF平分∠ABC，則∠ABF=∠EBD，從而得出AE=AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明AH⊥EF；
（2）設(shè)，可證明Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，則得出，再根據(jù)三角形的周長得出c_l、c₂、c₃．的關(guān)系式，并得出當(dāng)k=時(shí)，等號成立，即為的值．
解答：證明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H為EF的中點(diǎn)，∴AH⊥EF；

（2）設(shè)，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴，
而BE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k²x=（1-2k²）x，
∴，，，
∴，
故當(dāng)．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．