Question

5．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線AB過一，二，三象限，分別交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，直線CD⊥AB于D，分別交x，y軸于C，E．已知AB=AC=10，S_△ACD=24，且B（0，6），
（1）①求證：△AOB≌△ADC；②求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接OD，AE，求證：OD⊥AE；
（3）點(diǎn)M為線段OA上的動點(diǎn)，作∠NME=∠OME，且MN交AD于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，求$\frac{MO+ND}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB知∠ADC=∠AOB=90°，根據(jù)已知條件依據(jù)AAS可判定△AOB≌△ADC，故S_△AOB=S_△ACD，即24=OA×6÷2，得OA=8，知A（-8，0）；
（2）由（1）知AD=AO，又AD⊥EC、AO⊥EO，故點(diǎn)A在∠OED的角平分線上，可得OD⊥AE；
（3）作EF⊥MN、連接NE，知EF=EO=ED、MF=MD，進(jìn)而易得ND=NF，故$\frac{MO+ND}{MN}$的值為1．

解答 解：（1）①證明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，
在△AOB與△ADC中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠ADC}\\{∠BAO=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS）；
②∵△AOB≌△ADC，B（0，6），
∴S_△AOB=S_△ACD=24=OA×6÷2=3OA，
解得：OA=8，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0）；
（2）∵△AOB≌△ADC，
∴AD=AO，
又∵AD⊥EC，AO⊥EO，
∴點(diǎn)A在∠OED的角平分線上，
∴OD⊥AE；
（3）過點(diǎn)E作EF⊥MN于點(diǎn)F，連接NE，

∵∠NME=∠OME，EF⊥MN，EO⊥MO，
∴EF=EO，MF=MO，
由（2）知，點(diǎn)E在∠OAD平分線上，ED⊥AD，EO⊥AO，
∴EO=ED，
∴EF=ED，
在RT△EDN和RT△EFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=FE}\\{NE=NE}\end{array}\right.$，
∴RT△EDN≌RT△EFN（HL），
∴ND=NF，
∴$\frac{MO+ND}{MN}$=$\frac{MF+NF}{MN}$=$\frac{MN}{MN}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)和判定，利用角平分線的性質(zhì)為兩三角形全等創(chuàng)造條件是關(guān)鍵．