【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交軸,軸于A,B兩點,點C為OB的中點,點D在第二象限,且四邊形AOCD為矩形.

(1)直接寫出點A,B的坐標,并求直線AB與CD交點E的坐標;

(2)動點P從點C出發(fā),沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動;同時,動點N從點A出發(fā),沿線段AO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動,過點P作,垂足為H,連接NP.設點P的運動時間為秒.

NPH的面積為1,求的值;

點Q是點B關于點A的對稱點,問是否有最小值,如果有,求出相應的點P的坐標;如果沒有,請說明理由.

【答案】(1)A(-3,0),B(0,4),E(-1.5,2);(2)1或2;有最小值,P(-2,2).

【解析】

試題分析:(1)分別令x與y等于0,即可求出點A與點B的坐標,由四邊形AOCD為矩形,可知:CDx軸,進而可知:D、C、E三點的縱坐標相同,由點C為OB的中點,可求點C的坐標,然后將點C的縱坐標代入直線即可求直線AB與CD交點E的坐標;

(2)分兩種情況討論,第一種情況:當0<t<2時;第二種情況:當2<t6時;

由點Q是點B關于點A的對稱點,先求出點Q的坐標,然后連接PB,CH,可得四邊形PHCB是平行四邊形,進而可得:PB=CH,進而可將BP+PH+HQ轉化為CH+HQ+2,然后根據(jù)兩點之間線段最短可知:當點C,H,Q在同一直線上時,CH+HQ的值最小,然后求出直線CQ的關系式,進而可求出直線CQ與x軸的交點H的坐標,從而即可求出點P的坐標

試題解析:(1)直線分別交x軸,y軸于A,B兩點,

令x=0得:y=4,

令y=0得:x=-3,

A(-3,0),B(0,4),

OA=3,OB=4,

點C為OB的中點,

OC=2,

C(0,2),

四邊形AOCD為矩形,

OA=CD=3,OC=AD=2,CDOA(x軸),

D、C、E三點的縱坐標相同,

點E的縱坐標為2,將y=2代入直線得:x=-1.5,

E(-1.5,2);

(2)分兩種情況討論:

第一種情況當0<t<1時,如圖1,

根據(jù)題意可知:經(jīng)過t秒,CP=t,AN=t,HO=CP=t,PH=OC=2,

NH=2t-3,

SNPH=PHNH,且NPH的面積為1,

×2×(2t-3)=1,

解得:t=2;

第二種情況:當1<t3時,如圖2,

根據(jù)題意可知:經(jīng)過t秒,CP=t,AN=t,HO=CP=t,PH=OC=2,

AH=3-t,

HN=AN-AH=1.5t-2,

SNPH=PHNH,且NPH的面積為1,

×2×(1.5t-2)=1,

解得:t=2;

當t=1或2時,存在NPH的面積為1;

BP+PH+HQ有最小值,

連接PB,CH,HQ,則四邊形PHCB是平行四邊形,如圖3,

四邊形PHCB是平行四邊形,

PB=CH,

BP+PH+HQ=CH+HQ+2,

BP+PH+HQ有最小值,即CH+HQ+2有最小值,

只需CH+HQ最小即可,

兩點之間線段最短,

當點C,H,Q在同一直線上時,CH+HQ的值最小,

過點Q作QMy軸,垂足為M,

點Q是點B關于點A的對稱點,

OA是BQM的中位線,

QM=2OA=6,OM=OB=4,

Q(-6,-4),

設直線CQ的關系式為:y=kx+b,

將C(0,2)和Q(-6,-4)分別代入上式得:

,

解得:

直線CQ的關系式為:y=x+2,

令y=0得:x=-2,

H(-2,0),

PHy軸,

P(-2,2).

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