Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點，點Q的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)OP∥CQ時，求點P的坐標(biāo)；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當(dāng)點M，N中有一點到達(dá)Q點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)直線PQ垂直平分線段MN時，請求出此時t的值及點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，把A，B，C三點的坐標(biāo)代入求出a，b，c的值即可；
（2）過P作PH⊥AB于H，首先利用已知條件求出PH和OH的比值為3：4，再設(shè)PH=3m，則OH=4m，代入拋物線的解析式求出m的值即可求出P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)線PQ垂直平分線段MN時，直線PQ上的點到∠AQC兩邊的距離相等，則直線PQ能平分∠AQC，由此可求出t的值及點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過點C（0，3），
∴c=3．
把A（-3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3中得

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

．
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；
（2）過P作PH⊥AB于H，
∵OP∥CQ，
∴∠POH=∠CQO，
∴tan∠POH=tan∠CQO=

OC

OQ

=

3

4

，
∴

PH

OH

=

3

4

，
設(shè)PH=3m，則OH=4m，
∴點P的坐標(biāo)為（-4m，3m）
將其代入y=x²+4x+3得：16m-16m+3=3m，
解得：m=1，
∴P的坐標(biāo)為（-4，3）；
（3）過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，（如圖1）
因為直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
設(shè)P（x，x²+4x+3），
若直線PQ⊥MN，則：過P作直線PE⊥x軸，垂足為E，
則△PEQ∽△MDN，
∴

PE

EQ

=

MD

ND

，
∴

x2+4x+3

4-x

=

4 5

12 5

，
∴x=

-13± 109

6

，
∴P（

-13- 109

6

，

37+ 109

18

）或（

-13+ 109

6

，

37- 109

18

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、相似三角形、平行四邊形、角平分線的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識點．試題難度不大．