Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，點E是CD上的一個動點（E不與D重合），過點E作EF∥AC，交AD于點F（當E運動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點D的對應點是點G,如圖①．

1.求CD的長及∠1的度數(shù)；

2.設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？

3.當點G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當E點移動到線段AB上時運動停止.設(shè)平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.CD=   ∠1=30°

2.Y

 當時，y的值最大，y的最大值為

3.①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-

【解析】

（1）   過點A作AH⊥BC于點H                 （1分）

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°

∴AH=AB·=

∵四邊形ABCD為直角梯形

∴四邊形AHCD為矩形

∴CD=AH=                          （2分）

∵ 

∴∠CAD=30°

∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30°                         （4分）

    （2）點G恰好在BC上，由對折的對稱性可知△FGE≌△FDE  

∴ GE=DE =x，∠FEG=∠FED=60°

∴∠GEC=60°

因為△CEG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD  得 

∴x=                              （5分）

當時

∵＞0，對稱軸為y軸

∴當，y隨x的增大而增大

∴當x=時，=             （6分）

當＜x≤時，設(shè)FG，EG分別交BC于點M、N

∵DE=x

∴EC=，NE=2

∴NG=GE－NE==

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°

∴MG==

                （7分）

∵，對稱軸為直線

∴當＜x≤時，y有最大值

∴當時，=                （8分）

綜合兩種情形：由于＜ 

∴ 當時，y的值最大，y的最大值為                 （9分）

(3)由題意可知:AB=6,分三種情況：

   ①若AE=BE, 解得t=9

   ②若AB=AE,解得t=9-2

③若BA=BE，解得t=12-                                              (12分)